giovedì 13 luglio 2017

La Successione di Fibonacci

L’essere umano è, per sua definizione, una creatura curiosa che cerca di comprendere tutti i fenomeni che lo circondano. L’osservazione e la comprensione del cosmo e degli oggetti in esso presenti (stelle, galassie, etc), l’evoluzione di strutture naturali così come la comprensione di fenomeni appartenenti al campo della biologia e della fisica generano quel “senso di mistero” che affascina l’umanaità. Nel cercare di comprendere questi fenomeni si trovano delle regolarità che possono essere spiegate attraverso una successione di numeri interi nota come successione di Fibonacci anche se, ad onor del vero, era già utilizzata da alcuni matematici indiani che
cercavano di comprendere le profonde connessioni tra numeri e note musicali. Il libro di Koshy. T. – Fibonacci and Lucas numbers with applications  Ed John Wiley & Sons. 2001 contiene numerose applicazioni di questa successione in particolare evidenzia il legame esistente tra la sezione aurea Ф =1,618… e il rapporto di rotazione dei pianeti all’interno del sistema solare. In conclusione visto che numerosi fenomeni naturali trovano una spiegazione in termini di questa successione abbiamo deciso di coniare il termine “logica dell’Universo” in quanto molte informazioni che riguardano l’universo sono codificate all’interno della successione. Stiamo, quindi, conducendo uno studio approfondito riscoprendo un risultato, ossia che la successione è uniformemente distribuita modulo 9. I primi due termini della successione sono 1 e 1. I termini successivi si determinano secondo la seguente regola ogni numero è la somma degli ultimi due numeri precedenti ad esso . Troviamo, quindi
Fib=1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,……
I numeri della successione crescono molto rapidamente. Ad esempio con un programma opportuno di calcolo si ricava il 150esimo termine della successione nella cifra “astronomica” 99692166771893033862144057602003. Numeri di questo tipo sono difficilmente manipolabili e ci siamo chiesti se fosse possibile ridurre la successione ad una struttura periodica finita. In virtù della legge di congruenza di Gauss, ossia due numeri interi sono equivalenti modulo 9. Dividendo ogni numero della successione per 9 e prendendo e il primo numero intero dopo la virgola del risultato della divisione, avremo questa nuova successione:
Fib=1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9
Continuando con l’operazione sopra descritta abbiamo notato che la successione finita di 24 cifre si ripete all’infinito, da questo abbiamo dedotto che l’originale successione di Fibonacci potesse essere riassunta in quelle 24 cifre; anche perché esse presentano la proprietà più nota della successione di Fibonacci e cioè quella riassumibile con la formula n = (n-1) + (n-2). Se si osserva la successione finita si nota che 8 + 5 = 13 e facendo 1+3 otterremo 4 (questa operazione di ridurre ad un solo numero compreso tra 1 e 9 si chiama riduzione teosofica) e così via per tutti le altre cifre. Si nota che, apparentemente manca il numero zero, ma se facciamo 9 diviso 9 otterremo 1,0 che modulato su base 9 è 0. Potremo, quindi scrivere la successione anche in questo modo:
1123584371 0 88764156281 0
Se Indichiamo con Ai l’insieme {1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,} e Bi l’insieme {8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1}, i è un intero che varia tra zero e l’infinito, possiamo “racchiudere” l’intera successione nella formula
Fib= i {Ai {0} Bi}{0}
Infatti la successione Fib. Non è altro che un unione degli insiemi {1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,} , {0} e {8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1} che si ripetono un numero infinito di volte.  Osserviamo, inoltre che la somma degli elementi degli insiemi Ai e Bi è nulla, in quando la somma del primo insieme è 43 che riduciamo a 7 e la somma del secondo insieme è 56 che riduciamo a 11 e ancora a 2. Sommando 7 e 2 otteniamo 9, che come detto sopra equivale a 0 Queste considerazioni ci hanno indotto a congetturare una struttura frattale dell’Universo ossia una struttura geometrica che tende a replicarsi su scala sempre più grande mantenendo la forma originaria. Naturalmente lo studio sulla successione di Fibonacci non è giunto al termine, tutt’altro. La successione finita ottenuta dalla successione originaria genera altre serie di numeri, ma di questo argomento scriveremo in seguito. È indubbio che l’originaria successione, quella rivelata al mondo da Fibonacci nasconde molti segreti e soprattutto tante risposte che noi continueremo a cercare. I numeri, la matematica e la geometria sono un linguaggio che parla sempre della stessa storia: la nostra. Le nostre origini, la nostra evoluzione e il funzionamento di tutto ciò che ci circonda. L’uomo non smetterà mai di cercare di comprendere ed è questa la vera intelligenza umana: la capacità di poter nella comprensione del cosmo progredire la ricerca, l’osservazione, la sperimentazione e il ragionamento.

Nella figura sottostante è mostrato un grafico che mostra l’andamento della successione di Fibonacci in relazione alla proprietà descritta all’inizio dell’articolo, ossia che ogni numero è la somma dei due numeri precedenti ad esso nella successione.

Valentina Anastasi e Marco Sebastiani

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